#デジタル信号とサンプリング 9

記号の補足:
#サンプリング周期 を
Tではなく
τ(タウ)で表記する事があるのはなぜ？

#信号処理 でTと書いた場合
#周期信号 の #周期 を表すことが多い.

混同・誤解を避けるため
①関数の #波形 の周期はT
②サンプリング周期はτ
で表し区別.

#デジタル信号の周波数解析 82

DTFT[ y_{d,N} (t) ]
=
F(ω)
=
Σ{n=0→N-1} f[n] e^(-jωnτ)

ここでω軸上での #サンプリング周期 は
(2π/τ)/N
=
2π/τN

∴
ω=k・2π/τN
と #離散化 でき
F(k・2π/τN)
=
F[k]
=
Σ{n=0→N-1} f[n] e^(-j{k･2π/τN}nτ)
=
Σ{n=0→N-1} f[n] e^(-j2πk･n/N)

#デジタル信号の周波数解析 78

DTFT^{-1}[ F_d(ω) ]
=
(1/N)Σ{m=0→N-1} F( m2π/τN ) e^(jnτ･{m2π/τN}) ①

ここで
t軸上での #サンプリング周期 はτだが
ω軸上でのサンプリング周期は
(2π/τ)/N
＝
2π/τN
であることを思い出そう.

すると…
①
=
(1/N)Σ{m=0→N-1} F[m] e^(j2πm･n/N)

#デジタル信号の周波数解析 59

整理

「t軸上もω軸上も
#離散 かつ #有限長 な
#フーリエ解析 の #変換 操作」を作る場合，

t軸上の #サンプリング周期 τを
#ナイキスト条件(#サンプリング定理)を
満たすようにとり

t軸上 #サンプリング 数Nと
ω軸上サンプリング数Mを
同じ値にする.

#デジタル信号の周波数解析 56

前ツイより

ω軸上でM点で #サンプリング した
#デジタル信号 F_d(ω)の #波形 から

t軸上でN点で
#サンプリング周期 τでサンプリングした
デジタル信号y_{d,N}(t)の波形を
破損なく復元できるためには，

Nτ≦Mτ
∴
N≦Mならばよい！

通常，N=Mとおく.

#デジタル信号の周波数解析 43

無限長 #アナログ信号 f(t) を
t軸上 #サンプリング周期 τ で #標本化 した
無限長 #デジタル信号:
y_d (t)
=
Σ{k=-∞→∞} f(t)δ(t－kτ)

これを #有限長 とするには
サンプル点をN個に制限.
有限長デジタル信号
y_{d,N} (t)
=
Σ{k=0→N－1} f(t)δ(t－kτ)

#デジタル信号の周波数解析 6

#アナログ信号 f(t) を
#サンプリング周期 τ で #標本化 した
#デジタル信号 値 f(nτ)＝f[n] について

DTFT[ f[n] ]
=
X(ωτ)
=
Σ{n=-∞→∞} f[n]･e^(－jωτn)
↑
よく見ると
#複素フーリエ級数展開
f(t)＝Σ{n=-∞→∞} c_n･e^(j2πn･t/T)
に似ている？

#デジタル信号とサンプリング 38

#アナログ信号 y(t)を
#サンプリング周期(時間間隔)τで #標本化 した
#デジタル信号 y_d (t) に対し
デジタル信号から
アナログ信号を復元する #補間公式:

y(t)＝y_d(t) * sinc( ω_0･t )
(ω_0=π/τ)

y(t)＝Σ{k=-∞→∞} y(kτ) sinc( ω_0･t － kπ )

#デジタル信号とサンプリング 33

#サンプリング周期 τ の
#デジタル信号 y_d(t) を使って
#アナログ信号 y(t) を表すと

y(t) ＝ y_d(t) * sinc( ω_0･t )
(ω_0 ＝ π/τ)

めっちゃ綺麗な形になった。

この意味は
「デジタル信号に #sinc関数 を #畳みこむ と
アナログ信号に戻る！」

#デジタル信号とサンプリング 9

記号の補足:
#サンプリング周期 を
Tではなく
τ(タウ)で表記する事があるのはなぜ？

#信号処理 でTと書いた場合
#周期信号 の #周期 を表すことが多い.

混同・誤解を避けるため
①関数の #波形 の周期はT
②サンプリング周期はτ
で表し区別.