#複素解析を概観 23

#級数展開

▶#正則 領域内で #テイラー展開:
f(z)
=
Σ{n=0→∞} { f^(n) (z) / n! }( z－z_0 )^n

▶#特異点 周りで #ローラン展開:
f(z)
=
Σ{k=-∞→∞} α_k ( z－z_0 )^k

#グルサーの公式 より，展開係数は
α_k ＝ (1/2πi) ∲_C { f(z) / ( z － z_0 )^(k+1) } dz

#複素解析を概観 23

#級数展開

▶#正則 領域内で #テイラー展開:
f(z)
=
Σ{n=0→∞} { f^(n) (z) / n! }( z－z_0 )^n

▶#特異点 周りで #ローラン展開:
f(z)
=
Σ{k=-∞→∞} α_k ( z－z_0 )^k

#グルサーの公式 より，展開係数は
α_k ＝ (1/2πi) ∲_C { f(z) / ( z － z_0 )^(k+1) } dz

#複素解析を概観 22

･#コーシーの積分公式
･#グルサーの公式
↑
これらの使いどころは…

#特異点(#単極/#重極)を1つ持つ関数を
容易に周回積分できる。

また逆に，
ある点における関数値 f(z_0) や導関数値を
そのまわりの周回積分 ∲ から推定できる。

#複素解析を概観 21

表記ゆれ
#グルサーの公式
#グルサの公式
#グルサーの定理
#グルサの定理

よく言われるのは
「グルッと周回積分するから
"#グルサー" なの?」

#グルサ(Goursat)の定理
https://ramenhuhu.com/math-gou...
･分母がn乗の形になっている積分の計算式
･n階微分係数を積分表示する式

#複素解析を概観 22

･#コーシーの積分公式
･#グルサーの公式
↑
これらの使いどころは…

#特異点(#単極/#重極)を1つ持つ関数を
容易に周回積分できる。

また逆に，
ある点における関数値 f(z_0) や導関数値を
そのまわりの周回積分 ∲ から推定できる。