#デジタル信号とサンプリング 11

#デジタル信号
y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }
の #フーリエ変換 を求める際
役立つ公式:

#積 と #たたみ込み の性質
ℱ[ f(t)･g(t) ]
=
(1/2π) ℱ[ f(t) ] * ℱ[ g(t) ]

#インパルス列 のフーリエ変換
ℱ[ δ_τ (t) ]＝Ω δ_Ω (ω)
※Ω=2π/τ

#デジタル信号とサンプリング 10

#アナログ信号
y＝f(t)
の #フーリエ変換 が
ℱ[y]＝F(jω)
の時，
f(t) を #周期 τで #サンプリング した
#デジタル信号
y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }
のフーリエ変換はどうなる？
↓
#インパルス列 との #積 を
#たたみ込み に変形できそう！

#デジタル信号とサンプリング 3

記号や用語の補足…

ここでは
y ＝ f(t) は #アナログ信号
y_d ＝ f(t)･δ_τ (t) は #デジタル信号
y_d の下添え字の「d」はデジタルの意
という記号を使っている.

δ_τ (t) は 間隔τの #インパルス列.

#デジタル信号とサンプリング 2

数学的に「#デジタル信号」とは？

y ＝ f(t) という普通の関数がある時
それに
#デルタ関数 列(#インパルス列)をかけると…

y_d ＝ f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }

時間間隔 τ ごとに値を持つ
時間的にとびとびの #波形.
↑
これがデジタル信号！

#デジタル信号とサンプリング 1
↑
このタグでは下記の事を学びます。

①#AD変換:
#アナログ信号 から #デジタル信号 を得る方法.
なぜ #インパルス列 が必要か

②#DA変換:
デジタル信号からアナログ信号を復元する方法.
#サンプリング定理，#サンプリング周波数

#フーリエ変換の具体的な計算 29
↑
このタグの復習…

次の関数をそれぞれ #フーリエ変換 すると？
①#矩形関数
②原点中心の #δ関数
③#定数関数
④原点中心でない一般のδ関数
⑤#複素正弦波
⑥#インパルス列

全てパッと思い出せるでしょうか。

#フーリエ変換の具体的な計算 28

ℱ[ δ_T (t) ] ＝ Ω δ_Ω (ω)
※Ω＝2π/T

「#インパルス列(#δ関数 の列)を
#フーリエ変換 すると
やはりインパルス列になる」
↑
この性質とても重要！
#信号処理 で，
#サンプリング定理 のカナメとなる部分が
この上記の性質から導出されているため.

#フーリエ変換の具体的な計算 26

①#インパルス列 は
#複素正弦波 の単純な和
δ_T (t)
=
Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)
=
(1/T)Σ{n=-∞→∞} e^(j2πn･t/T)

②#複素正弦波 の #フーリエ変換 は #デルタ関数
ℱ[ e^(jω_0･t) ]
=
2πδ(ω－ω_0)

①②を組み合わせ
①の右辺をフーリエ変換できる!

#フーリエ変換の具体的な計算 25

#インパルス列 を
#複素フーリエ級数展開 すると…

δ_T (t)
=
Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)
=
Σ{n=-∞→∞} c_n･e^(j2πn･t/T)
展開係数c_n=1/Tより
=
(1/T)Σ{n=-∞→∞} e^(j2πn･t/T)

つまりインパルス列は
#複素正弦波 の「均等な和」なのである！

#フーリエ変換の具体的な計算 22

#インパルス列
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)
↑
これは #周期 Tをもつ #周期関数.

周期関数の扱い方として
まず真っ先に考えるのは，
「(複素)#フーリエ級数展開 の形★で書き直せる」
ということ.

そのあとで
★を #フーリエ変換 してみよう.

#フーリエ変換の具体的な計算 21

#インパルス列
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)

#デルタ関数 (#δ関数) が
間隔Tで無限に並ぶ波形であり，
･インパルス列
･#デルタ関数列 (#δ関数列)
･#デルタ列 (#δ列)
･くし形関数
などと呼ばれる.

#フーリエ変換の具体的な計算 20

#δ関数 の #フーリエ変換 を
計算できるという事は…

δ関数のΣをとったもの(=#インパルス列)も
フーリエ変換できそう.

#時間軸 上で #周期 Tごとに
#デルタ関数 が無限に並んだ関数
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)

これを周期Tのインパルス列と呼ぶ.

#フーリエ変換の具体的な計算 1
↑
このタグでは下記の事を学びます。

次の関数をそれぞれ #フーリエ変換 すると？
①#矩形関数
②原点中心の #δ関数
③#定数関数
④原点中心でない一般のδ関数
⑤#複素正弦波
⑥#インパルス列

#デジタル信号の周波数解析 50

ω軸上のアナログ波形F(ω)に，
ω軸上で #インパルス列
δ_{Ω/M} (ω)
=
Σ{m=-∞→∞} δ(ω－m{Ω/M})
をかけたものは…

F_d(ω)
＝
F(ω)・δ_{Ω/M}(ω)
ω軸上の #デジタル信号 になる.

これはt軸上でどんな #波形 か？
#逆フーリエ変換 してみよう.

#デジタル信号の周波数解析 49

ω軸上の #周期関数 F(ω)の #周期 が
Ω=2π/τの時
その1周期内でM個の点を #標本化 すると…

標本化の間隔はΩ/M(=2π/τM)なので
「ω軸上の #インパルス列
δ_{Ω/M} (ω)
=
Σ{m=-∞→∞} δ(ω－m{Ω/M})
を
F(ω)にかける」という操作になる.

#デジタル信号の周波数解析 44

記号の補足:
y_{d,N} (t) の添え字の…

d は #デジタル信号 である事
(#インパルス列 がかかっていること).

N は標本点の個数。
N を書かずにy_d (t) とした場合
N＝∞ となる.

ここでは，標本点の個数 N を
何とかして有限に収めたいのである.

#デジタル信号の周波数解析 32

#離散時間フーリエ変換(#DTFT)について
整理すると…

①DTFT:
#インパルス列 をかけて #フーリエ変換 する操作

②DTFT^{-1}:
何をどう復元するか，に応じ
#積分 区間のバリエーションが3通り

③#AD変換 と #DA変換 の重要性に押され
①も②も省かれがち

#デジタル信号の周波数解析 29

#信号処理 の本に
#離散時間フーリエ変換(#DTFT)が
載ってない事が多いのはなぜ？

理由は2つ

①DTFTの中身は ℱ と ℱ^{-1} だから
特記する必要ないやろ…と省く.

②#インパルス列 で相互変換したいのは
t⇔ωじゃなくて
#AD変換＆#DA変換やろ…と省く.

#デジタル信号の周波数解析 20

DTFT[ f(t) ]
=
ℱ[ Σ{k=-∞→∞} f(kτ)δ(t－kτ) ]①

①に ℱ^{-1} をかけると
ℱ^{-1}[
ℱ[ Σ{k=-∞→∞} f(kτ)δ(t－kτ) ]
]
=
∫{-∞→∞} DTFT[f(t)] e^(jωt) dt
=
Σ{k=-∞→∞} f(kτ)δ(t－kτ)
#インパルス列 としての #デジタル信号 に戻る.

#デジタル信号の周波数解析 4

#アナログ信号 f(t) に対し
「#デルタ列(#インパルス列)をかけてから
#フーリエ変換」するのが
#離散時間フーリエ変換.

DTFT[ f(t) ]
＝
ℱ[ f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) } ]

#デジタル信号(#サンプル値関数)の
#周波数 スペクトルを得る.