#アナログ信号の解析法 53
↑
このタグの復習…

･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形)
↓ 三角関数で #級数展開
･#フーリエ級数展開
↓ 変形(#オイラーの公式)
･#複素フーリエ級数展開
↓ 変形(#区分求積法)
･#フーリエ変換
周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能

OKでしょうか.

#アナログ信号の解析法 52

まず
#アナログ信号 の #フーリエ変換 を
しっかり学べば…

▶#デジタル信号 のフーリエ変換や
#z変換 もよく分かり，
#信号処理論 を習得できる.

▶アナログ信号の #ラプラス変換 もよく分かり，
#制御論 を習得できる.

なのでフーリエ変換の学習は大事！

#アナログ信号の解析法 51

#フーリエ級数展開 や
#複素フーリエ級数展開 と比べた場合の
#フーリエ変換 のメリット:

･#周期 が無い一般のアナログ #波形 に適用できる

･#微分方程式 を解くのに役立つ

･#離散フーリエ変換 や #FFT，#ラプラス解析 など重要な応用に橋渡しできる

#アナログ信号の解析法 50

#フーリエ変換 の応用
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・「最も重要なフーリエ変換の使用例は
#偏微分方程式 の解を求めること」

https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・フーリエ変換と #微分作用素 は #両立 するので
#微分方程式 を
#代数方程式 に書き換えることができる.

#アナログ信号の解析法 49

「#熱 の解析的理論」
#フーリエ が1822年に出版.

https://ja.wikipedia.org/wiki/...
任意の関数は #三角関数 の #級数 で表せると主張

https://blog.goo.ne.jp/ktonega...
#フーリエ級数 や #フーリエ変換 を初めて紹介.
固体の熱伝導現象の #偏微分方程式 を解析的に解いた

#アナログ信号の解析法 48

ジョゼフ･#フーリエ
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

ジャン・バティスト・ジョゼフ・フーリエ
Jean Baptiste Joseph Fourier

#固体 内での #熱伝導 に関する研究から
#熱伝導方程式 を導き，
これを解くために
#フーリエ解析 と呼ばれる理論を展開した。

#アナログ信号の解析法 47

#フーリエ変換 (Fourier transform，FT)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・もとの関数 f の
「#周波数領域 表現」
(frequency domain representation)
を得る変換。

・19世紀フランスの #数学者＆#物理学者
ジョゼフ･#フーリエ に由来。

#アナログ信号の解析法 46

①#フーリエ級数展開
a_n=(2/T)∫{-T/2→T/2}f(s)cos(2πns/T)ds
b_n=(2/T)∫{-T/2→T/2}f(s)sin(2πns/T)ds
n:離散

②#複素フーリエ級数展開
c_m=(1/T)∫{-T/2→T/2}f(s)e^(-j2πms/T)ds
m:離散

③#フーリエ変換
F(ω)=∫{-∞→∞}f(s)e^(-jωs)ds
ω:連続

#アナログ信号の解析法 45

①#フーリエ級数展開
f(t)=Σ(sinとcos)

②#複素フーリエ級数展開
f(t)=Σ(exp)

③#フーリエ変換
f(t)=∫{-∞→∞}F(ω)e^(jωt)dω

①②:#周期 Tの #アナログ信号 を
離散スペクトルの和(Σ)に分解

③:一般のアナログ信号を
連続スペクトルの #積分(∫)に分解

#アナログ信号の解析法 44

「#複素フーリエ級数展開 で
T→∞の #極限 をとれば
#フーリエ変換 を導出できる」
↑
Tは信号の #周期 だから，
Tが無限大という事は
いつまでたっても信号の #波形 に
「繰り返しが現れない」という事.

つまり，#周期信号 ではない
一般の波形を扱える！

#アナログ信号の解析法 43

f(t)
=
Σ{m=-∞→+∞}{
(1/T)∫{-T/2→T/2}f(s)exp(-j2πm･s/T)ds
･
e^(j2πm･t/T)
}
↑
#複素フーリエ級数展開 で
T→∞の #極限 をとれば
lim{T→∞}f(t)
=(1/2π)∫{-∞→∞}F(ω)exp(jωt)dω
※F(ω)=∫{-∞→∞}f(s)exp(-jωs)ds
#フーリエ変換 になる.

#アナログ信号の解析法 42

lim{T→∞}f(t)
=Σ{m=-∞→＋∞}(1/T)g(m/T)
=∫{-∞→∞}g(x)dx
=∫{-∞→∞}{
∫{-∞→∞}f(s)exp(－j2πs･x)ds
･
e^(j2πt･x)
}dx ①

2πx=ωとおけば
①=
(1/2π)∫{-∞→∞}{
∫{-∞→∞}f(s)exp(－jωs)ds
･
e^(jωt)
}dω
これが #フーリエ変換！

#アナログ信号の解析法 41

f(t)
=
Σ{m=-∞→+∞}(1/T){
∫{-T/2→T/2}f(s)exp(－j2πm･s/T)ds
･
e^(j2πm･t/T)
}

ここで
g(m/T)=
∫{－T/2→T/2}f(s)exp(－j2πs･m/T)ds
･
e^(j2πt･m/T)
とおけば…

lim{T→∞}f(t)
=
Σ{m=-∞→+∞}(1/T)g(m/T)
#区分求積法 の形に！

#アナログ信号の解析法 40

#複素フーリエ級数展開 の式…
f(t)
=
Σ{m=-∞→＋∞}{
(1/T)∫{-T/2→T/2} f(s)exp(－j2πm･s/T) ds
･
e^(j2πm･t/T)
}
↑
Σの中身はm/Tを引数に取る関数で
全体に係数1/Tが付く.

という事はつまり
T→∞の極限をとれば
#区分求積法 の公式が使える.

#アナログ信号の解析法 39

積分範囲が無限大の #区分求積法

∫{-∞→∞}f(x)dx
=
lim{⊿ω→0}Σ{k=-∞→∞} (⊿ω) f(ω_k)
=
lim{n→∞}Σ{k=-∞→∞} (1/n) f(k/n)

※ω_k=k/L
⊿ω=ω_k－ω_{k-1}=1/L
L→∞

共立出版「フーリエ解析入門」(谷川2007)p45に
#リーマン和 として載っている.

#アナログ信号の解析法 38

①
∫{0→1}f(x)dx
=
lim{n→∞}Σ{k=1→n}(1/n)f(k/n)

②
aは整数
∫{-a→a}f(x)dx
=
lim{n→∞}Σ{k=-na+1→na}(1/n)f(k/n)

③
②でa→∞の #極限 をとると
∫{-∞→∞}f(x)dx
=
lim{n→∞}Σ{k=-∞→∞}(1/n)f(k/n)
これが，積分範囲が無限大の #区分求積法.

#アナログ信号の解析法 37

∫{0→1}f(x)dx
=
lim{n→∞}Σ{k=1→n} (1/n)f(k/n)

#区分求積法 の積分範囲を
[a, b] (a, b は整数)としてみると…
∫{a→b}f(x)dx
＝
lim{n→∞}Σ{k=na＋1 → nb} (1/n)f(k/n)
↑
f(a･n / n)=f(a)から
f(b･n / n)=f(b)までの
縦長の長方形の短冊の総和。

#アナログ信号の解析法 36

#区分求積法:

x軸上で0から1の範囲をn等分.
x座標は
1/n, 1/2, …, k/n, …, n/n

これらの点での関数f(x)の値は
f(1/n), f(1/2), …, f(k/n), …, f(n/n)

縦長の長方形を考え
底辺の長さ=1/n
高さ=f(k/n)
∴
∫{0→1}f(x)dx＝lim{n→∞}Σ{k=1→n}(1/n)f(k/n)

#アナログ信号の解析法 35

#高校数学 の #区分求積法 の公式については
下記URLを見るとよい.
https://juken-mikata.net/how-t...

※Wikipediaには「区分求積法」の項目は無い.
かわりに #リーマン積分 などのページがあるが…
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
.

#アナログ信号の解析法 34

▶#周期 Tの #アナログ信号
↓
↓ sin,cos の集まりとみなす
↓
▶#フーリエ級数展開
↓
↓ #オイラーの公式 で
↓ sin,cosを #exp に書き換え
↓
▶#複素フーリエ級数展開
↓
↓ 周期T→∞の #極限 を取り
↓ #区分求積法 でΣを∫に
↓
▶#フーリエ変換