#たった10ツイートでわかる線形代数

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このハッシュタグのつぶやきは
Togetterにまとめておきましたぞ！！

「たった１０ツイートでわかる #線形代数･行列論
(大学1年の夏学期用・要点まとめ)
大学数学を速習！」

https://togetter.com/li/155587...

#たった10ツイートでわかる線形代数

計算練習の補遺 (4/4)

▶#対角化 で…

二次形式の標準形を求める
https://linky-juku.com/quadrat...

連立漸化式を解く
http://blog.livedoor.jp/ddreri...

連立微分方程式を解く
https://dora.bk.tsukuba.ac.jp/...

ほか，具体的な3～4次行列でガンガン計算すること！

#たった10ツイートでわかる線形代数

計算練習の補遺 (3/4)

▶#固有値問題 を解く
・https://linky-juku.com/eigenva...
・https://geisya.or.jp/~mwm48961...

▶#対角化 する
https://geisya.or.jp/~mwm48961...

▶対角化で行列の n 乗を求める
https://geisya.or.jp/~mwm48961...
.

#たった10ツイートでわかる線形代数

補遺 (2/4)

▶#行列式
#サラスの方法 で
・https://ramenhuhu.com/math-sar...
・https://domeblog.net/sarrusdet...
#余因子展開 で
・https://linky-juku.com/cofacto...
・https://linear-algebra.com/ent...

▶#余因子行列 で逆行列
・https://ai-trend.jp/basic-stud...
・https://linky-juku.com/cofacto...
.

#たった10ツイートでわかる線形代数

具体的な計算練習の補遺 (1/4)

▶#掃き出し法 で連立一次方程式を解く
・http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/m...
・https://senkei.nomaki.jp/gauss...
・https://geisya.or.jp/~mwm48961...
・https://ja.wikipedia.org/wiki/...

▶掃き出し法で #逆行列 を求める
・https://linear-algebra.com/ent...
.

#たった10ツイートでわかる線形代数

大学１年の夏学期の線形代数・行列論
要点骨子を概観できましたな！

ここで紹介した骨子を基に
具体的な計算例を解きまくる

そして各人が受講している講義内容に応じ
派生する細部の概念をおさえてゆけばよい

木の幹と枝葉の関係になると思いますぞ！

#たった10ツイートでわかる線形代数
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Q.
#固有値問題 や #対角化 の意義とは

A.
固有値問題:
・量子論や物理学で頻繁に現れる
・対角化に必要

対角化できれば:
・行列のn乗を楽に計算できる
・連立微分方程式や連立漸化式を解ける
・二次曲線を標準化･把握しやすくなる

#たった10ツイートでわかる線形代数
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Q.
行列Aを #対角化 せよ

A.
Aの #固有方程式 を解き
相異なる #固有値 λ_1, λ_2, λ_3, …
相異なる #固有ベクトル α_1, α_2, α_3, …
を得て
対角成分に固有値を並べた行列Λ
固有ベクトルを並べた行列P
Λ＝P^{-1} AP
により #対角行列 を得る

#たった10ツイートでわかる線形代数
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Q.
正方行列Aの
1) #特性多項式
2) #固有方程式
3) #固有値 λと #固有ベクトル x

A.
1) 未知変数λとして |A－λE|

2) |A－λE|＝0
※(λに関する多項式)＝0の形

3)
Ax＝λx
⇔(A－λE)x＝0
⇔|A－λE|＝0
解いてλを得る.
Ax＝λxにλを代入してxを得る.

#たった10ツイートでわかる線形代数
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Q.
#クラメルの公式 で
Ax ＝ b の解を明示せよ

A.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

行列 A の第 i 列を
ベクトル b で置き換えた行列を
A_i とおくと

解ベクトル x の第 i 成分は
x_i ＝ |A_i| / |A|

※#掃き出し法 のほうが計算量が少ない.

#たった10ツイートでわかる線形代数
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Q.
1) #余因子行列 の定義
2) 「#逆行列 を求める公式」

A.
1)
正方行列Aの
全ての #余因子(cofactor) C_{i,j} を並べた行列Cが
Aの余因子行列(matrix of cofactors)

2)
余因子行列を転置し
#行列式 で割ると
逆行列になる.
A^{-1}＝C^T / |A|

#たった10ツイートでわかる線形代数
5/10

Q.
#小行列式 と #余因子 の定義

A.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

(i, j)小行列式M_{i,j}
i行とj列を除去した結果の部分行列の #行列式.
余因子の計算に使う

(i, j)余因子
符号付きの小行列式.
C_{i,j}＝(-1)^{i+j} M_{i,j}
#余因子展開 に使う

#たった10ツイートでわかる線形代数
4/10

Q.
#行列式 の計算法
1) 2次
2) 3次
3) 4次以上

A.
1)
ad－bc

2)
#サラスの方法 で計算
(無意識に手が動くまで反復練習)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

3)
ある行か列に注目し #余因子展開
1つサイズの小さな行列式で表せ
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
.

#たった10ツイートでわかる線形代数
3/10

Q.
#行列式 |A|=detA
1) 意味
2) |A|≠0時のAx=b
3) |A|=0時のAx=0

A.
1)
#逆行列 や非自明解の存在判別式.
n本のベクトルが張る立体の体積

2)
|A|≠0
⇔逆行列A^{-1}が存在.Aは #正則
⇔Ax=bは唯一解を持つ

3)
|A|=0
⇔Ax=0は非自明解x≠0を持つ

#たった10ツイートでわかる線形代数
2/10

Q.
行列の #階数
1) 定義
2) Ax＝bが唯一解を持ち，Aの #逆行列 が存在する必要十分条件
3) Ax＝bが解を持つ必要十分条件

A.
1) #基本変形 して全行が0でない行の階段の段数.
#1次独立 なベクトルの本数
2) rank(A)＝n
3) rank({A|b})＝rank(A)

#たった10ツイートでわかる線形代数

大学1年の夏学期
「#線形代数･#行列論」
10ツイで速習ですぞ！

1/10
Q.
#掃き出し法 で
1) 連立1次方程式 Ax=b を解け
2) Aの #逆行列 を計算

A.
1) #拡大係数行列 { A | b } を
#基本変形 で { E | b' } に

2) { A | E } を基本変形で { E | A' } に

#代数学のbot連ツイのタグ その2

▶環論
①#環論の初歩
②#環論の知識
③#加群の知識
④#GröbnerBasis

▶体論その他，抽象代数学全般
#体論の初歩(※建設中)
#代数学の知識
#代数学の参考書

▶線形代数
#たった10ツイートでわかる線形代数

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(大学1年の夏学期用・要点まとめ)
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計算練習の補遺 (4/4)

▶#対角化 で…

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ほか，具体的な3～4次行列でガンガン計算すること！

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▶#固有値問題 を解く
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・https://geisya.or.jp/~mwm48961...

▶#対角化 する
https://geisya.or.jp/~mwm48961...

▶対角化で行列の n 乗を求める
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