#デジタル信号とサンプリング 28

ℱ_ω[
ℱ_t[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2))
]
=
ℱ_ω[ ℱ_t[y] ]

右辺=2πy(-t)

左辺(#積 を #たたみ込み に変形)
=
(1/2π)ℱ_ω[ ℱ_t[y_d] ] * ℱ_ω[ τ rect(ω / (Ω/2))]
=
(τ/2π) 2π y_d(-t) * ℱ_ω[rect(ω / (Ω/2))]
=
τ y_d(-t) * ℱ_ω[rect(ω / (Ω/2))]

#デジタル信号とサンプリング 27

ω軸上で #デジタル信号 を
1 #周期 切り出したもの
ℱ[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2))
=
ℱ[y]

両辺をω軸上で #フーリエ変換
ℱ_ω[ ℱ_t[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2)) ]
=
ℱ_ω[ ℱ_t[y] ]

左辺の #積 を変形すると…？

#デジタル信号とサンプリング 12

#デジタル信号
y_d ＝ f(t)・{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }
の #フーリエ変換:

ℱ[ y_d ]
=
ℱ[ f(t)・δ_τ (t) } ]
#積 を #たたみ込み に変換
=
(1/2π){
ℱ[ f(t) ]
*
ℱ[ δ_τ (t) ]
}
=
(1/2π){
F(jω)
*
Ω δ_Ω (ω)
}
※Ω=2π/τ

#デジタル信号とサンプリング 11

#デジタル信号
y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }
の #フーリエ変換 を求める際
役立つ公式:

#積 と #たたみ込み の性質
ℱ[ f(t)･g(t) ]
=
(1/2π) ℱ[ f(t) ] * ℱ[ g(t) ]

#インパルス列 のフーリエ変換
ℱ[ δ_τ (t) ]＝Ω δ_Ω (ω)
※Ω=2π/τ

#デジタル信号とサンプリング 10

#アナログ信号
y＝f(t)
の #フーリエ変換 が
ℱ[y]＝F(jω)
の時，
f(t) を #周期 τで #サンプリング した
#デジタル信号
y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }
のフーリエ変換はどうなる？
↓
#インパルス列 との #積 を
#たたみ込み に変形できそう！

#フーリエ変換の性質や諸公式 50
↑
このタグの復習…

･#フーリエ変換 の #線形性
･ℱの後でℱ^{-1}すると
･ℱの後でまたℱすると
･以下のもののフーリエ変換はどうなるか:
2関数の #たたみ込み
2関数の #積
1関数の #微積分
1関数の #時間シフト
1関数の #縮尺 変換

OKでしょうか？

#フーリエ変換の性質や諸公式 29

①#たたみ込み の #フーリエ変換 は
フーリエ変換の #積.

ℱ[ (f*g)(t) ]
=
ℱ[ f(t) ]・ℱ[ g(t) ]

②フーリエ変換の畳み込みは
積のフーリエ変換 (の2π倍).

ℱ[ f(t) ] * ℱ[ g(t) ]
=
2π ℱ[ f(t)･g(t) ]

なんとシンプル！

#フーリエ変換の性質や諸公式 28

#たたみ込み と #積 の #対称性 を
「#フーリエ変換 は」で揃えるのではなく
「畳み込みは」という主語に揃えて
言い換えると…

①畳み込みのフーリエ変換は
フーリエ変換の積

②フーリエ変換の畳み込みは
積のフーリエ変換 (の2π倍)

↑
覚えやすい！

#フーリエ変換の性質や諸公式 27

･#たたみ込み の #フーリエ変換 は
フーリエ変換の #積.

･積のフーリエ変換は
フーリエ変換の畳み込み.

↑
「畳み込み」と「積」とで
きれいに対称な関係.

計算しづらいもの(畳み込み)を
計算しやすいもの(積)に置き換えられて便利！

#フーリエ変換の性質や諸公式 26

▶#たたみ込み の #フーリエ変換 は
個別のフーリエ変換の #積 に等しい.
ℱ[ (f*g)(t) ]
=
ℱ[ f(t) ]・ℱ[ g(t) ]

▶積のフーリエ変換は
個別のフーリエ変換の
畳み込み(の定数倍)に等しい.
ℱ[ f(t)･g(t) ]
=
(1/2π) ℱ[ f(t) ] * ℱ[ g(t) ]

#フーリエ変換の性質や諸公式 24

ω軸上の #たたみ込み を
ω軸上で #フーリエ変換 すると…

ℱ_ω[
ℱ_t [ f(t) ]
*
ℱ_t[ g(t) ]
]
=
ℱ_ω[ ℱ_t [ f(t) ] ]
・
ℱ_ω[ ℱ_t[ g(t) ] ]
畳み込みを #積 に変形できた！

フーリエ変換の重ねがけの公式より
=
2π f(－t)・2π g(－t)

#フーリエ変換の性質や諸公式 23

ω軸上の波形の #たたみ込み
{
ℱ[ f(t) ](jω)
*
ℱ[ g(t) ](jω)
}
を
ω軸上で #フーリエ変換 すると？

「畳み込みのフーリエ変換は
個別のフーリエ変換の #積」という性質が
t軸上だけでなく
ω軸上でも成立するので
上式の畳み込みは積に変形できる！

#フーリエ変換の性質や諸公式 22

ℱ_t
t軸上の #積分

ℱ_ω
ω軸上の積分

#フーリエ変換 の重ねがけの公式
ℱ_ω [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
2π f(－t)
を使うと…

信号の #積 f(t)･g(t) を
2回フーリエ変換したら，
ℱ_ω[ ℱ_t[ f(t)･g(t) ] ]
=
2π f(－t)･g(－t)
という形になる.

#群論の初歩 69

Q.
X－{0} は
Xから0という要素を除いた集合を表す.

① ℤ－{0}
② ℚ－{0}
③ ℝ－{0}
④ ℂ－{0}
この4つの集合について
#部分群 の関係を作れるか？

A.
#二項演算 として #積 を考えると
②③④は #アーベル群.
①は #逆元 が無く #群 になれない.

∴
②≤③≤④

#フーリエ変換の性質や諸公式 21

#積 f(t) g(t) の #フーリエ変換 の公式
ℱ[ f(t)･g(t) ]
=
(1/2π) ℱ[ f(t) ] * ℱ[ g(t) ]
↑
どう証明したらよいか？

方針として，左辺の
ℱ[ f(t)･g(t) ]
という項は
そのままだと扱いづらいので
両辺にさらにℱをかけてみよう。
すると…

#フーリエ変換の性質や諸公式 20

ℱ[ (f*g)(t) ]
=
ℱ[ f(t) ]・ℱ[ g(t) ]

「#たたみこみ の #フーリエ変換」は
個別のフーリエ変換の #積 に等しい.

では，
「積 f(t) g(t) のフーリエ変換」は
どうなるであろうか？

こうなる:
ℱ[ f(t)･g(t) ]
=
(1/2π) ℱ[ f(t) ] * ℱ[ g(t) ]

#フーリエ変換の性質や諸公式 15

#たたみこみ積分 に関する
#フーリエ変換 の重要な性質:

ℱ[ (f*g)(t) ]
=
ℱ[ f(t) ]・ℱ[ g(t) ]
=
F(jω)・G(jω)

2信号の #たたみこみ のフーリエ変換は
個別のフーリエ変換の #積 になる.
↓
たたみこみの面倒な計算を回避できる！
(積で代用できる)

#フーリエ変換の性質や諸公式 1
↑
このタグでは下記の事項を学びます。

･#フーリエ変換 の #線形性
･ℱの後でℱ^{-1}すると
･ℱの後でまたℱすると
･以下のもののフーリエ変換はどうなるか:
2関数の #たたみ込み
2関数の #積
1関数の #微積分
1関数の #時間シフト
1関数の #縮尺 変換

#線形代数を独学できるYouTube動画

AKITOの勉強チャンネルによる
「#線形代数」シリーズ
5 / 86

【線形代数#5】#行列 の演算③ ～行列の #積 ～
https://www.youtube.com/watch?...
24:48

#数学 #大学数学

＜#代数学の参考書＞

「はじめて学ぶリー群 ― 線型代数から始めよう」
(現代数学社2017井ノ口)

前書きより引用:
『おおまかにいうと
#リー群 は，
「2つの #要素 に対し
#積 が定まる」
という #性質 と
「#微分積分 が行なえる」
という性質を備え
#両者 が #噛み合っている ものである.』